Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis: Zweiter Band: by G. Pólya, G. Szegö (auth.)

By G. Pólya, G. Szegö (auth.)

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Es sei @n mittels w = fn(z) eineindeutig und konform auf den Einheitskreis 1 w 1 < 1 abgebildet, und zwar sei fn(O) = 0, f~(O) > O. Wird mit wachsendem n der Einheitskreis von @n nach und nach abgeschnürt, d. h. ist lim lX. im fn(z) z, = unabhängig davon, wie sich der vom Einheitskreis abgeschnürte Teil von @n für großes n verhält. ] 138. Die Funktion W bl = g (z) = z + bo + -Z + -bZ2 + ... thaltendes Gebiet @ ab. Es ist dann 1b1 12 + 21 b2 12 + 3 I b3 12 + ... < 1 . Man hat insbesondere 1 b1 \ < 1 und in dieser letzten Ungleichheit gilt dann und nur dann das Zeichen =, wenn @ die längs einer Strecke von der Länge 4 aufgeschlitzte Vollebene ist.

Es sei Wn die kleinste Konstante dieser Art; dann ist wn 1 (n + 1)n+1 S4" (n _1)n-l 1). 158. ) Es ist fi 2n r - 1 It(reiD)ldßs-. ] 159. ) Es ist (Verschärfung von 157) 160. Die Abschätzung von 146 kann man für Funktionen '/(z) = z + a2 z2 + a3 z3 + ... + anzn + ... a21~2(1- ~). Wann tritt das Gleichheitszeichen ein? I(z) ] [1 +ei'"M-1t(z)]2 an. 2 1) Diese Schranke ist kleiner als :. n 2 , 4 [Man wende 146 auf IV. , Kap. 2: § 6, Nr. 155-163 - Kap. 3: § 1. Nr. 164-165· 29 181. Die Funktion 1(z) = z + a2 z2 + a3 z3 + ..

94. ) Die Folgerung bleibt bestehen, wenn die Voraussetzung durch die weniger fordernde ersetzt wird, daß I(x) an n 1 Stellen mit einem Integral der Differentialgleichung (*) übereinstimmt. ) 95. ) Es sei + Xl < x2 < X3 < ... < x,. Das Verhältnis der beiden Determinanten 11 (Xl) 11(X 2) ... MX1) 12 (X 2) ... 11 (xn) 12(X n) kann dem Verhältnis der beiden Determinanten ... 1i(~2) 1~(;2} I\n-l)(~n) «P1(~1) «Pi(~2) I~n-l)(;n) «P2(;1) «P~(~2) gleichgesetzt werden, wenn deuten; es ist ;1=X1 , ~1<~2

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