Algorithmische Methoden: Zahlen, Vektoren, Polynome by Phillipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

By Phillipp Kügler, Wolfgang Windsteiger

Das Lehrbuch diskutiert g?ngige Fragen der research und linearen Algebra und verwendet f?r die rechnergest?tzten Antworten die software program Matlab und Mathematica. Es stellt mathematische Standard-Algorithmen im element vor und zeigt deren Umsetzung in die Programme. Zus?tzlich erl?utert es, wie deren Funktionen Probleme l?sen. Die Inhalte sind nach Datentypen (Polynome, reelle Funktionen, Matrizen) gegliedert. Im Vordergrund: die Objekte am Rechner, Grundoperationen an diesen Objekten und typische Fragen. Mit Algorithmen in Pseudocode. Plus zum obtain: Programme f?r Mathematica und Matlab, alle Beispiele, Grafiken, interaktive Elemente.

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Damit stehen dann die Hilfsmittel der Analysis wie Grenzwertbildung und Differentiation zur Verfügung. Bei der Rundungsfehleranalyse eines Algorithmus werden in der Regel untere und obere Schranken des am Computer darstellbaren Zahlbereichs ignoriert, und ein immer kleiner werdender relativer Abstand zwischen den Maschinenzahlen betrachtet. 62) bei immer kleiner werdender Rundungseinheit u gibt es dann mit Vorwärts- und Rückwärtsanalyse zwei prinzipielle Zugänge. In beiden Fällen kann sowohl mit dem normweisen als auch dem komponentenweisen Fehlerkonzept gearbeitet werden.

Dazu müsste man aber dann mit insgesamt m · n Konditionszahlen arbeiten, was in höheren Dimensionen schnell unübersichtlich und unpraktisch wird. In [3] findet man daher folgende Definition der relativen komponentenweisen Kondition, die mit einer einziger Konditionszahl ihr Auslangen findet. 35 Definition Relative komponentenweise Kondition. 43). Für xi = 0 mit i = 1, . . ,n und 'j (x) = 0 mit j = 1, . . ,n |xi | Ärel,komp max erfüllt ist. 35 Wir verwenden a b als Kurzschreibweise für a ist viel kleiner als b.

34) durch Ärel = |x| |x + z| gegeben. Falls x entgegengesetztes Vorzeichen zu z, aber ungefähr denselben Betrag wie z hat, ist das Problem (' ,x) im relativen Sinn schlecht konditioniert, da dann Ärel auch deutlich größer als 1000 sein kann. Wir verweisen dazu auch auf das Beispiel von Seite 18. Die Auslöschung kann in Kombination mit Datenfehlern infolge von Rundung die zentrale Ursache für numerische Instabilitäten und stark fehlerhafte Rechenergebnisse sein. Dies haben wir im Beispiel auf Seite 17 infolge der Differenz zwischen p und 3 in Algorithmus QuadGlgI schon beobachtet, näheres dazu folgt auf Seite 41.

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